Các dạng toán hàm số bậc nhất

Bài viết tổng hợp lý thuyết SGK và trình bày các dạng toán hàm số bậc nhất thường gặp trong chương trình Đại số 10 chương 2, kiến thức và các ví dụ minh họa trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai xuất bản trên MeToan.Com.

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
• Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y = ax + b$, với $a ≠ 0$, tập xác định của hàm số bậc nhất là $D = R.$
• Chiều biến thiên:
+ Khi $a>0$ thì hàm số $y = ax + b$ đồng biến trên $R.$
+ Khi $a<0$ thì hàm số $y = ax + b$ nghịch biến trên $R.$
• Bảng biến thiên:

• Đồ thị của hàm số $y = ax + b$ $(a,b≠0)$ là một đường thẳng song song với đường thẳng $y = ax$, cắt trục tung tại điểm $B(0;b)$ và cắt trục hoành tại điểm $A\left( { – \frac{b}{a};0} \right).$
• Hàm số hằng $y = b$ có đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $(0; b).$
• Hàm số $y = |x|:$
Ta có: $y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x\:nếu\:x \ge 0\\
– x\:nếu\:x < 0
\end{array} \right.$
Đồ thị của hàm số $y = |x|$ là một đường gấp khúc đối xứng qua trục tung.

• Hàm số $y = |ax + b|$, $a ≠ 0:$
Ta có: $y = |ax + b|$ $ = \left\{ \begin{array}{l}
ax + b\:nếu\:ax + b \ge 0\\
– ax – b\:nếu\:ax + b < 0
\end{array} \right.$
Đồ thị của hàm số $y = |ax + b|$, $a ≠ 0$ là một đường gấp khúc.

B. CÁC DẠNG TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT
**Vấn đề 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=ax+b$ và hàm số $y=|ax+b|.$
**Phương pháp:
• Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ là một đường thẳng nên để vẽ đồ thị hàm số này ta chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị, thường là lấy hai điểm trên hai trục tọa độ.
• Đối với hàm số $y = |ax + b|$ ta dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối, chia khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối, trên mỗi khoảng ta có một hàm số bậc nhất.

Ví dụ 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) $y = -2x + 3.$
b) $y = |-2x + 3|.$
c) $y = 3x – 4.$
d) $y = |3x – 4|.$

a) Bảng biến thiên của hàm số $y = -2x + 3$ là:

Đồ thị của hàm số $y = -2x + 3$ cắt trục tung tại điểm $(0;3)$ và cắt trục hoành tại điểm $\left( {\frac{3}{2};0} \right).$

b) Ta có: $y = \left| { – 2x + 3} \right|$ $ = \left\{ \begin{array}{l}
– 2x + 3\:nếu\:x \le \frac{3}{2}\\
2x – 3\:nếu\:x > \frac{3}{2}
\end{array} \right.$
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y = |-2x + 3|$ là:

Đồ thị hàm số $y = |-2x + 3|$ là một đường gấp khúc. Trên nửa khoảng $\left( { – \infty ;\frac{3}{2}} \right]$ đồ thị hàm số này trùng với đồ thị hàm số $y=-2x+3$, còn trên khoảng $\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)$ đồ thị trùng với đồ thị hàm số $y = 2x – 3.$

c) Bảng biến thiên của hàm số $y = 3x – 4$ là:

Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-4)$ và cắt trục hoành tại điểm $\left( {\frac{4}{3};0} \right).$

d) Ta có: $y = \left| {3x – 4} \right|$ $ = \left\{ \begin{array}{l}
3x – 4\:nếu\:x \ge \frac{4}{3}\\
– 3x + 4\:nếu\:x < \frac{4}{3}
\end{array} \right.$
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số $y=|3x-4|$ là:

Đồ thị hàm số $y=|3x-4|$ là một đường gấp khúc. Trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{4}{3}} \right)$ đồ thị hàm số này là đồ thị hàm số $y=-3x+4$, còn trên nửa khoảng $\left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right)$ đồ thị hàm số này là đồ thị hàm số $y = 3x – 4.$

Nhận xét: Đồ thị của hàm số $y = |ax + b|$ luôn nằm ở nửa trên của mặt phẳng tọa độ và gồm hai nửa đường thẳng, một nửa đường thẳng là đồ thị của hàm số $y = ax + b$, nửa đường thẳng kia là đồ thị của hàm số $y = -ax – b.$

Vấn đề 2. Xác định hàm số $y = ax + b$ để đồ thị của nó đi qua hai điểm đã cho.
Phương pháp: Thay thế tọa độ hai điểm đã cho vào phương trình $y = ax + b$ ta sẽ được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn $a$ và $b.$ Giải hệ phương trình này ta tìm được $a$ và $b.$

Ví dụ 2. Tìm hàm số $y = ax + b$ mà đồ thị đi qua hai điểm $M(-2;1)$ và $N(1;3)$. Vẽ đồ thị hàm số đó.

Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua $M(-2;1)$ nên ta có: $1=a(-2)+b$ $⇔-2a+b=1.$
Tương tự đồ thị hàm số đi qua $N(1;3)$ nên ta có: $3 = a.1 + b$ $⇔a+b=3.$
Từ đó ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
– 2a + b = 1\\
a + b = 3
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{2}{3}\\
b = \frac{7}{3}
\end{array} \right.$
Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}.$
Đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}:$

Vấn đề 3. Xác định hàm số $y = ax + b$ để đồ thị của nó song song với một đường thẳng đã cho và đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
Phương pháp:
• Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = {a_1}x + {b_1}$ song song khi và chỉ khi $a = {a_1}$ và $b ≠ {b_1}.$
• Để tìm giao điểm của hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ ta giải phương trình $ax + b = a’x + b’$ tìm ra $x$ rồi thay vào một trong hai phương trình để tìm $y.$

Ví dụ 3. Xác định hàm số $y = ax + b$ sao cho đồ thị của nó:
a) Song song với đường thẳng $y = -3x + 2$ và cắt trục hoành tại điểm $x = 2$. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
b) Cắt trục tung tại điểm $y = -1$ và đi qua giao điểm của hai đường thẳng $y = -2x + 5$ và $y = x + 2$. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.

a) Đồ thị hàm số $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = -3x + 2$ nên $a = -3$.
Đồ thị này đi qua điểm $(2;0)$ nên ta có: $0 = (-3).2 + b$ $⇒ b = 6.$
Vậy hàm số cần tìm là $y = -3x + 6.$
Đồ thị của hàm số $y = -3x + 6:$

b) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y = -2x + 5$ và $y = x + 2$ là nghiệm của phương trình: $-2x + 5 = x + 2$ $⇔ x= 1$, suy ra $y = 3.$ Vậy giao điểm là $M(1;3).$
Đồ thị hàm số $y = ax + b$ cắt trục tung tại $(0; -1)$ nên $b = -1.$
Đồ thị này đi qua điểm $M(1; 3)$ nên: $3 = a.1-1$ $⇒ a = 4.$
Vậy ta có hàm số $y = 4x – 1.$
Đồ thị hàm số $y = 4x – 1:$

Vấn đề 4. Xác định các hàm số bậc nhất để đồ thị của chúng là các đường thẳng đồng quy.
Phương pháp: Muốn cho ba đường thẳng đồng quy thì giao điểm của hai đường thẳng phải thuộc đường thẳng thứ ba, hoặc giao điểm của các cặp đường thẳng phải trùng nhau. Vậy trước hết tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng thứ nhất với đường thẳng thứ hai rồi tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng thứ nhất (hoặc thứ hai) với đường thẳng thứ ba. Cho các hoành độ này bằng nhau ta suy ra giao điểm của ba đường thẳng và xác định được các hàm số cần tìm.

Ví dụ 4.
a) Xác định $m$ để các đường thẳng sau đồng quy:
$y = -x + 1$, $y = mx + 4$, $y = x + m + 1$.
b) Với mỗi giá trị $m$ tìm được, vẽ các đường thẳng tương ứng trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y = -x + 1$ và $y = mx + 4$ là nghiệm của phương trình: $-x + 1 = mx + 4$ $⇔(m + 1)x = -3.$
+ Với $m = -1$ thì phương trình này vô nghiệm.
+ Với $m ≠ -1$ ta được nghiệm $x = – \frac{3}{{m + 1}}$ $(1).$
Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng $y = -x + 1$ và $y = x + m + 1$ là nghiệm của phương trình: $- x + 1 = x + m + 1$ $⇔ 2x = -m$ $⇔x = – \frac{m}{2}$ $(2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: $ – \frac{3}{{m + 1}} = – \frac{m}{2}$ $ \Leftrightarrow {m^2} + m – 6 = 0$ $\left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = – 3
\end{array} \right.$
+ Với $m = 2$ ta có ba đường thẳng đồng quy là: $y = -x + 1$, $y = 2x + 4$, $y = x + 3$, ba đường thẳng này đồng quy tại điểm $A(-1; 2).$
+ Với $m = -3$ ta có ba đường thẳng đồng quy là: $y = -x + 1$, $y = -3x + 4$, $y = x – 2$, ba đường thẳng này đồng quy tại điểm $B\left( {\frac{3}{2}; – \frac{1}{2}} \right).$
b) Vẽ các đường thẳng trên cùng một hệ trục tọa độ.
+ Với $m=2:$

+ Với $m=-3:$

Vấn đề 5. Tìm công thức xác định trên các khoảng của hàm số $y = |ax + b| ± |cx + d|$, vẽ đồ thị hàm số trên các khoảng đó.
Phương pháp: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối, chia các khoảng để khử đấu giá trị tuyệt đối. Trên mỗi khoảng tìm biểu thức của hàm số $y.$

Ví dụ 5: Cho hàm số $y = |x – 1| + |-2x – 1|.$
a) Tìm công thức xác định hàm số trên các khoảng $\left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right]$, $\left( { – \frac{1}{2};1} \right)$, $\left[ {1; + \infty } \right).$
b) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

a) Ta có:
$\left| {x – 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x – 1\:nếu\:x \ge 1\\
– x + 1\:nếu\:x < 1
\end{array} \right.$
$\left| { – 2x – 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}
– 2x – 1\:nếu\:x \le – \frac{1}{2}\\
2x + 1\:nếu\:x > – \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Từ đó ta lập bảng tương ứng trên các khoảng như sau:

Vậy ta có:
$y = \left| {x – 1} \right| + \left| { – 2x – 1} \right|$ $ = \left\{ \begin{array}{l}
– 3x\:nếu\:x \le – \frac{1}{2}\\
x + 2\:nếu\: – \frac{1}{2} < x < 1\\
3x\:nếu\:x \ge 1
\end{array} \right.$
b) Đồ thị hàm số $y = \left| {x – 1} \right| + \left| { – 2x – 1} \right|:$

Vấn đề 6. Xác định hàm số $y = |ax + b|$ theo đồ thị là một đường gấp khúc đã cho.
Phương pháp: Đường gấp khúc có hai nhánh là hai nửa đường thẳng. Xác định hàm số $y = ax + b$ có đồ thị trên một khoảng là một nửa đường thẳng, rồi lấy trị tuyệt đối. Chú ý rằng không phải đường gấp khúc nào cũng là đồ thị của một hàm số $y = |ax + b|.$

Ví dụ 6. Hãy xác định hàm số có đồ thị là đường gấp khúc như trong hình bên.

Trên nửa khoảng $(-∞; 1]$, nửa đường thẳng có phương trình $y = ax + b$ đi qua hai điểm $(0; 2)$ và $(1; 0)$ được xác định như sau:
$\left\{ \begin{array}{l}
2 = a.0 + b\\
0 = a.1 + b
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – 2\\
b = 2
\end{array} \right.$
Vậy ta có hàm số $y = -2x + 2$ trên $(-∞; 1].$
Tương tự, trên nửa khoảng $[1; +∞)$ nửa đường thẳng (kéo dài) đi qua hai điểm $(1; 0)$ và $(0; -2)$ có phương trình là $y = 2x – 2.$
Vậy ta có: $y = \left\{ \begin{array}{l}
2x – 2\:nếu\:x \ge 1\\
– 2x + 2\:nếu\:x < 1
\end{array} \right.$
Có thể thấy đây là hàm số $y = |2x – 2|.$

Vấn đề 7. Xác định hàm số có đồ thị là một đường gấp khúc đã cho.
Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng trên mỗi khoảng đã cho rồi hợp lại, ta được hàm số cần tìm.

Ví dụ 7. Tìm hàm số có đồ thị là đường gấp khúc trong hình dưới.

Trên $(-∞; -1]$ đường thẳng đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(-1;3)$ có phương trình $y = 3x + 6.$
Trên $[-1;2]$ đường thẳng đi qua hai điểm $(-1;3)$ và $(2;1)$ có phương trình $y = – \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}.$
Trên $[2;+∞)$ đường thẳng đi qua $(2;1)$ và $\left( {\frac{3}{2};0} \right)$ có phương trình $y = 2x – 3.$
Vậy hàm số có dạng $y = \left\{ \begin{array}{l}
3x + 6\:nếu\:x \le – 1\\
– \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\:nếu\: – 1 \le x < 2\\
2x – 3\:nếu\:x \ge 2
\end{array} \right.$