Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1.

Phương pháp giải toán: Sử dụng quy tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ Đặt $\overrightarrow {AO} = \overrightarrow a $, $\overrightarrow {BO} = \overrightarrow b .$ Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CD} $ và $\overrightarrow {DA} $ theo hai vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b .$

Ta có:
$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OA} = \vec a – \vec b.$
$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OC} = \vec b + \vec a.$
$\overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b – \overrightarrow a .$
$\overrightarrow {DA} = – \overrightarrow {BC} = – \overrightarrow b – \overrightarrow a .$

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là $G$, $H$ là điểm đối xứng của $B$ qua $G.$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b $, $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c $. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AH} $, $\overrightarrow {CH} $ và $\overrightarrow {MH} $ theo $\overrightarrow b $ và $\overrightarrow c .$

Ta có: $\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AG} .$
Suy ra: $\overrightarrow {AH} = – \overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AM} $ $ = – \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ $ = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$
Vậy: $\overrightarrow {AH} = – \frac{1}{3}\overrightarrow b + \frac{2}{3}\overrightarrow c .$
Tương tự:
$\overrightarrow {CH} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} – \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} $ $ = – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} – \frac{1}{3}(\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} )$ $ = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} $ $ = – \frac{1}{3}(\overrightarrow {b} + \vec c).$
$\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CH} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} – \frac{1}{3}(\vec b + \vec c)$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} ) – \frac{1}{3}(\overrightarrow b + \overrightarrow c )$ $ = \frac{1}{2}(\overrightarrow c – \vec b) – \frac{1}{3}(\vec b + \vec c)$ $ = – \frac{5}{6}\vec b + \frac{1}{6}\overrightarrow c .$

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $M$, $N$ là trung điểm của các cạnh $DC$, $DA.$ Đặt $\overrightarrow {AM} = \vec a$, $\overrightarrow {BN} = \vec b.$ Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CD} $, $\overrightarrow {DA} $, $\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {BD} $ theo hai vectơ $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b .$

Ta có:
$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} $ $ = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .$
$\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} – \overrightarrow {AB} $ $ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} .$
Từ đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \vec a}\\
{\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} = \vec b}
\end{array}} \right.$
Giải hệ phương trình này ta được:
$\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow a – \frac{4}{5}\overrightarrow b .$
$\overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b .$
Như vậy:
$\overrightarrow {AB} = \frac{2}{5}\overrightarrow a – \frac{4}{5}\overrightarrow b .$
$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b .$
$\overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {AB} = – \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{4}{5}\overrightarrow b .$
$\overrightarrow {AD} = – \frac{4}{5}\overrightarrow a – \frac{2}{5}\overrightarrow b .$
$\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \frac{6}{5}\overrightarrow a – \frac{2}{5}\vec b.$
$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} = \frac{2}{5}\vec a + \frac{6}{5}\vec b.$

Ví dụ 4: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $I$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $2CI = 3BI$, gọi $J$ là điểm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ sao cho $5JB = 2JC.$
a) Tính $\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AJ} $ theo $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} .$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Tính $\overrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow {AI} $ và $\overrightarrow {AJ} .$

a) Vì $I$ nằm trên cạnh $BC$ và $2CI = 3BI$ nên $2\overrightarrow {CI} + 3\overrightarrow {BI} = \vec 0.$
$ \Rightarrow 2(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AI} ) + 3(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} ) = \vec 0. $
$ \Rightarrow 5\overrightarrow {AI} = 2\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AB} .$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} .$
Vì $J$ nằm trên phần kéo dài của cạnh $BC$ và $5JB = 2JC$ nên $5\overrightarrow {JB} = 2\overrightarrow {JC} .$
$ \Rightarrow 5(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} ) = 2(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AC} ).$
$ \Rightarrow 3\overrightarrow {AJ} = 5\overrightarrow {AB} – 2\overrightarrow {AC} .$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .$
b) Theo kết quả trên ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AI} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} }\\
{\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} }
\end{array}} \right.$
Từ đó suy ra: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} }\\
{\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} – \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} }
\end{array}} \right.$
Ta lại có: $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} $ (với $M$ là trung điểm của $BC$) $ = \frac{1}{3}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )$ $ = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} – \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)$ $ = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} – \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} .$

Bài tập rèn luyện:
Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$, $N$ là điểm sao cho $\overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} .$ $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Biểu thị $\overrightarrow {AC} $ theo $\overrightarrow {AG} $ và $\overrightarrow {AN} .$

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ có $D$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$ và $AB.$ Đặt $\overrightarrow {BE} = \vec a$, $\overrightarrow {CF} = \vec b.$ Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CA} $ và $\overrightarrow {AD} $ theo $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b .$

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$, $I$ là điểm trên phần kéo dài của $AB$ sao cho $IA = 2IB$, $J$ là điểm nằm trên cạnh $AC$ sao cho $3JA = 2JC.$ Biểu thị vectơ $IJ$ theo $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b $ và $\overrightarrow {AC} = \vec c.$

Bài toán 4: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, $I$ là trung điểm của $BO$, $G$ là trọng tâm tam giác $OCD.$ Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {BG} $ theo $\overrightarrow {AB} = \vec a$ và $\overrightarrow {AD} = \vec b.$

Bài toán 5: Cho tam giác $ABC.$ Gọi $H$ là điểm đối xứng của trọng tâm $G$ qua $B.$
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow {HA} – 5\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \vec 0.$
b) Đặt $\overrightarrow {AG} = \vec a$, $\overrightarrow {AH} = \vec b.$ Tính $\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AC} $ theo $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b .$

Bài toán 6: Cho lục giác đều $ABCDEF.$ Đặt $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow v = \overrightarrow {AF} .$ Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {CD} $, $\overrightarrow {DE} $, $\overrightarrow {EF} $, $\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {AE} $, $\overrightarrow {BD} $, $\overrightarrow {BE} $, $\overrightarrow {BF} $, $\overrightarrow {CE} $, $\overrightarrow {CF} $, $\overrightarrow {DF} $ theo $\vec u$ và $\overrightarrow v .$

Bài toán 7: Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M$, $N$, $E$, $F$ là các điểm sao cho $\overrightarrow {AM} = p\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {DN} = p\overrightarrow {DC} $, $\overrightarrow {AE} = q\overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {BF} = q\overrightarrow {BC} .$ $MN$ cắt $EF$ tại $O.$ Tính $\overrightarrow {EF} $ theo $\overrightarrow {EM} $ và $\overrightarrow {EN} .$

Bài toán 8: Cho hình bình hành $ABCD.$ Gọi $M$, $N$ là các điểm nằm trên đoạn $AB$ và $CD$ sao cho $AM = \frac{1}{3}AB$, $CN = \frac{1}{2}DC.$
a) Tính $\overrightarrow {AN} $ theo $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $, $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b .$
b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNB.$ Tính $\overrightarrow {AG} $ theo $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b .$
c) Gọi $I$, $J$ lần lượt là các điểm xác định bởi $\overrightarrow {BI} = m\overrightarrow {BC} $, $\overrightarrow {AJ} = n\overrightarrow {AI} .$ Tính $\overrightarrow {AI} $, $\overrightarrow {AJ} $ theo $\overrightarrow a $, $\overrightarrow b $ và $m$, $n.$
d) Xác định $m$ để $AI$ đi qua $G.$
e) Xác định $m$, $n$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN.$