Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng toán liên quan trong chương trình Đại số 10 chương 4.

**A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
**1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b<0$.
Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b<0:$
• Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $0x+b<0.$
+ Với $b<0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = \mathbb{R}.$
+ Với $b\ge 0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = \emptyset .$
• Nếu $a>0$ thì $ax+b<0$ $\Leftrightarrow x<-\frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;-\frac{b}{a} \right).$
• Nếu $a<0$ thì $ax+b<0$ $\Leftrightarrow x>-\frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=\left( -\frac{b}{a};+\infty \right).$
Các bất phương trình dạng $ax+b>0$, $ax+b\le 0$, $ax+b\ge 0$ được giải tương tự.
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình, khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

**B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
****Dạng toán 1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax + b < 0.$
**Ví dụ 1. Giải và biện luận bất phương trình sau:
a) $mx+6 < 2x+3m.$
b) $\left( x+m \right)m+x>3x+4.$
c) $\left( {{m}^{2}}+9 \right)x+3\ge m\left( 1-6x \right).$
d) $m\left( {{m}^{2}}x+2 \right)<x+{{m}^{2}}+1.$

a) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x<3m-6.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x\le 0$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{3m-6}{m-2}=3.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ (có tập nghiệm là $S=\mathbb{R}$).
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x<3$ (có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;3 \right)$).
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x>3$ (có tập nghiệm là $S=\left( 3;+\infty \right)$).
b) Bất phương trình tương đương với $\left( m-2 \right)x>4-{{m}^{2}}.$
Với $m=2$ bất phương trình trở thành $0x>0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>2$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Với $m<2$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2.$
Kết luận:
$m=2$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>2$ bất phương trình có nghiệm là $x>-m-2.$
$m<2$ bất phương trình có nghiệm là $x<-m-2.$
c) Bất phương trình tương đương với ${{\left( m+3 \right)}^{2}}x\ge m-3.$
Với $m=-3$ bất phương trình trở thành $0x\ge -6$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Với $m e -3$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
Kết luận:
$m=-3$ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$m e -3$ bất phương trình có nghiệm là $x\ge \frac{m-3}{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}.$
d) Bất phương trình tương đương với $\Leftrightarrow \left( {{m}^{3}}-1 \right)x<{{m}^{2}}-2m+1$ $\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x<\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1}$ (vì ${{m}^{2}}+m+1={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$).
Với $m=1$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m>1$ bất phương trình tương đương với $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Với $m<1$ bất phương trình tương đương với $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
Kết luận:
$m=1$ bất phương trình vô nghiệm.
$m>1$ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$
$m<1$ bất phương trình có nghiệm là $x>\frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.$

Ví dụ 2. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m<6x-2$ vô nghiệm.

Bất phương trình tương đương với $\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x<-2-m.$
Rõ ràng nếu ${{m}^{2}}-m-6 e 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m e -2 \\
m e 3 \\
\end{matrix} \right.$ bất phương trình luôn có nghiệm.
Với $m=-2$ bất phương trình trở thành $0x<0$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=3$ bất phương trình trở thành $0x<-5$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Vậy giá trị cần tìm là $m=-2$ và $m=3.$

Ví dụ 3. Tìm $m$ để bất phương trình $4{{m}^{2}}\left( 2x-1 \right)$ $\ge \left( 4{{m}^{2}}+5m+9 \right)x-12m$ có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$

Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}-5m-9 \right)x\ge 4{{m}^{2}}-12m.$
Dễ dàng thấy nếu $4{{m}^{2}}-5m-9 e 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m e -1 \\
m e \frac{9}{4} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng $\forall x\in \mathbb{R}.$
Với $m=-1$ bất phương trình trở thành $0x\ge 16$, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với $m=\frac{9}{4}$ bất phương trình trở thành $0x\ge -\frac{27}{4}$, suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{9}{4}.$

Ví dụ 4. Tìm $m$ để bất phương trình $\left( 4{{m}^{2}}+7m+1 \right)x-5m$ $\ge 3x-m-1$ có tập nghiệm là $[-1;+\infty ).$

Bất phương trình tương đương với $\left( 4{{m}^{2}}+7m-2 \right)x\ge 4m-1$ $\Leftrightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)x\ge 4m-1.$
+ Với $\left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$ thì bất phương trình vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi $x$ do đó không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m>\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (không thỏa mãn).
+ Với $-2<m<\frac{1}{4}$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)<0$ bất phương trình tương đương với $x\le \frac{1}{m+2}$ suy ra $-2<m<\frac{1}{4}$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với $m<-2$ $\Rightarrow \left( m+2 \right)\left( 4m-1 \right)>0$ bất phương trình tương đương với $x\ge \frac{1}{m+2}.$
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là $[-1;+\infty )$ thì $\frac{1}{m+2}=-1$ $\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn).
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

**Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
**Ví dụ 5. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$
c) $\left\{ \begin{align}
& 5x-2<4x+5 \\
& {{x}^{2}}<{{\left( x+2 \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.$
d) $\left\{ \begin{align}
& x-1\le 2x-3 \\
& 3x<x+5 \\
& \frac{5-3x}{2}\le x-3 \\
\end{align} \right.$

a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 5x-2>4x+5 \\
& 5x-4<x+2 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x>7 \\
& x<\frac{3}{2} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\
& \frac{8x+3}{2}<2x+5 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x<\frac{22}{7} \\
& x<\frac{7}{4} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow x<\frac{7}{4}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $x<\frac{7}{4}.$
c) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < 7}\\
{x > – 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – 1 < x < 7.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $-1<x<7.$
d) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\ge 2 \\
& x<\frac{5}{2} \\
& x\ge \frac{11}{5} \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là $\frac{11}{5}\le x\le \frac{5}{2}.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& 2x-1\le x+2 \\
& m\left( m+1 \right)x+4m\ge \left( m-2 \right)x+3{{m}^{2}}+6 \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
m\left( mx-1 \right)<2 \\
m\left( mx-2 \right)\ge 2m+1 \\
\end{matrix} \right.$

a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
\left( {{m}^{2}}+2 \right)x\ge 3{{m}^{2}}-4m+6 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\le 3 \\
x\ge \frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}\le 3$ $\Leftrightarrow m\ge 0.$
Vậy $m\ge 0$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}x<m+2 \\
{{m}^{2}}x\ge 4m+1 \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=0$ ta có hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x<2 \\
0x\ge 1 \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m e 0$ ta có hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x<\frac{m+2}{{{m}^{2}}} \\
x\ge \frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{m+2}{{{m}^{2}}}>\frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ $\Leftrightarrow m<\frac{1}{3}.$
Vậy $m<\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
a) $\left\{ \begin{align}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge {{x}^{2}}+7x+1 \\
& 2m\le 8+5x \\
\end{align} \right.$
b) $\left\{ \begin{matrix}
mx+1\le x-1 \\
2\left( x-3 \right)<5\left( x-4 \right) \\
\end{matrix} \right.$

a) Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{align}
& x\le \frac{8}{13} \\
& x\ge \frac{2m-8}{5} \\
\end{align} \right.$
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{8}{13}<\frac{2m-8}{5}$ $\Leftrightarrow m>\frac{72}{13}.$
Vậy $m>\frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
\left( m-1 \right)x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$
+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
0x\le -2 \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).
+ Với $m>1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\le \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{-2}{m-1}\le \frac{14}{3}$ $\Leftrightarrow -6\le 14\left( m-1 \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \frac{4}{7}.$
Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.
+ Với $m<1$ hệ bất phương trình $\left\{ \begin{matrix}
x\ge \frac{-2}{m-1} \\
x>\frac{14}{3} \\
\end{matrix} \right.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).
Vậy giá trị cần tìm là $m\ge 1.$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& 2m\left( x+1 \right)\ge x+3 \\
& 4mx+3\ge 4x \\
\end{align} \right.$ có nghiệm duy nhất.

Hệ bất phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{matrix}
\left( 2m-1 \right)x\ge 3-2m \\
\left( 4m-4 \right)x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $\frac{3-2m}{2m-1}=\frac{-3}{4m-4}$ $\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+15=0$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$ hoặc $m=\frac{5}{2}.$
+ Với $m=\frac{3}{4}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
\left( \frac{3}{2}-1 \right)x\ge 3-\frac{3}{2} \\
-x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\le 3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x=3.$
+ Với $m=\frac{5}{2}$ hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{matrix}
4x\ge -2 \\
6x\ge -3 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{2}.$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\frac{3}{4}.$

**Dạng toán 3. Bất phương trình quy về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.
**Ví dụ 9. Giải và biện luận bất phương trình $\frac{mx-m+1}{x-1}>0.$

Điều kiện xác định: $x e 1.$
Bất phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
mx-m+1>0 \\
\end{matrix} \right.$ $(3)$ hoặc $\left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
mx-m+1<0 \\
\end{matrix} \right.$ $(4).$
+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}<1$ với mọi $m>0$, do đó $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow x>1$ và $\left( 4 \right)$ $\Leftrightarrow x<\frac{m-1}{m}.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: $x\in \left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $\frac{1}{x-1}>0$ $\Leftrightarrow x-1>0$ $\Leftrightarrow x>1.$
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;+\infty \right).$
+ Trường hợp 3: $m<0$ ta có $(3)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x>1 \\
x<\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$ và $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<1 \\
x>\frac{m-1}{m} \\
\end{matrix} \right.$
Vì $\frac{m-1}{m}>1$ với mọi $m<0$, nên $\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow 1<x<\frac{m-1}{m}$ và $\left( 4 \right)$ vô nghiệm.
Suy ra nghiệm của bất phương trình là $x\in \left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$
Kết luận:
$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -\infty ;\frac{m-1}{m} \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$
$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;+\infty \right).$
$m<0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( 1;\frac{m-1}{m} \right).$

Ví dụ 10. Cho bất phương trình $\sqrt{\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3}>2.$
a) Giải bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

a) Khi $m=1$ bất phương trình trở thành $\sqrt{-3x+2}>2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
-3x+2\ge 0 \\
-3x+2\ge 4 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow x\le -\frac{2}{3}.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=(-\infty ;-\frac{2}{3}].$
b) Điều kiện xác định: $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0.$
Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thì khi đó điều kiện $\left( {{m}^{2}}-4 \right)x-m+3\ge 0$ đúng với mọi $x.$
Suy ra ${{m}^{2}}-4=0$ $\Leftrightarrow m=\pm 2.$
Với $m=2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x-2+3}>2$ (vô nghiệm).
Với $m=-2$ ta có bất phương trình trở thành $\sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi $x$).
Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ 11. Cho bất phương trình $\sqrt{x-1}(x-2m+2)\ge 0.$
a) Giải bất phương trình khi $m=2.$
b) Tìm $m$ để mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) Khi $m=2$ bất phương trình trở thành $\sqrt{x-1}(x-2)\ge 0.$
Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{matrix}
x\ge 1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy tập nghiệm bất phương trình là $\text{S}=\left\{ 1 \right\}\cup [2;+\infty ).$
b) Bất phương trình tương đương với $\left[ \begin{matrix}
\sqrt{x-1}=0 \\
\left\{ \begin{align}
& x-1\ge 0 \\
& x-2m+2\ge 0 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
\left\{ \begin{align}
& x\ge 1 \\
& x\ge 2m-2 \\
\end{align} \right. \\
\end{matrix} \right.$
+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $\Leftrightarrow m>\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 2m-2 \\
\end{matrix} \right.$
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=\left\{ 1 \right\}\cup [2m-2;+\infty ).$
Do đó mọi $x\in \left[ 2;3 \right]$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow \left[ 2;3 \right]\subset S$ $\Leftrightarrow 2m-2\le 2$ $\Leftrightarrow m\le 2.$
Suy ra $\frac{3}{2}<m\le 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m=\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Trường hợp 3: $2m-2<1$ $\Leftrightarrow m<\frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
x\ge 1 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow x\ge 1 \right. .$
Suy ra $m<\frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là $m\le 2.$