Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết hướng dẫn phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán về kinh tế và đời sống.

**A. LÝ THUYẾT CẦN NẮM VỮNG
**1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm.
• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ là bất phương trình có một trong các dạng: $ax+by+c<0$, $ax+by+c>0$, $ax+by+c\le 0$, $ax+by+c\ge 0$ trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$; $x$ và $y$ là các ẩn số.
• Mỗi cặp số $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ sao cho $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c<0$ gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax+by+c<0$, nghiệm của các bất phương trình dạng $ax+by>c$, $ax+by\le c$, $ax+by\ge c$ cũng được định nghĩa tương tự.
• Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm, ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.
b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng $\left( d \right):ax+by+c=0$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax+by+c>0$, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ $(d)$) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình $ax+by+c<0.$
• Để xác định miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c<0$, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng $(d)$: $ax+by+c=0.$
Bước 2. Xét một điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ không nằm trên $(d).$
+ Nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c<0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c<0.$
+ Nếu $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c>0$ thì nửa mặt phẳng (không kể bờ $(d)$) không chứa điểm $M$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax+by+c<0.$
Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng $ax+by+c\le 0$ hoặc $ax+by+c\ge 0$ thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
• Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau:
+ Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.
+ Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

**B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
**Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 1. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a) $2x-y\ge 0.$
b) $\frac{x-2y}{2}>\frac{2x+y+1}{3}.$

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left( d \right):\text{ 2}x-y=0$, ta có $\left( d \right)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm$M\left( 1;0 \right)$, ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M\left( 1;0 \right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

b) Ta có $\frac{x-2y}{2}>\frac{2x-y+1}{3}$ $\Leftrightarrow 3\left( x-2y \right)-2\left( 2x-y+1 \right)>0$ $\Leftrightarrow -x-4y-2>0$ $\Leftrightarrow x+4y+2<0.$
Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta :x+4y+2=0.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, ta thấy $\left( 0;0 \right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ (không kể đường thẳng $\Delta $) và không chứa điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Ví dụ 2. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{matrix}
x+y-2\ge 0 \\
x-3y+3\le 0 \\
\end{matrix} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& x+y>0 \\
& 2x-3y+6>0 \\
& x-2y+1\ge 0 \\
\end{align} \right.$

a) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y-2=0$, $\left( d’ \right):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, thấy $\left( 0;0 \right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\ge 0$ và $x-3y+3\le 0.$
Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( d’ \right).$

b) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y=0$, $\left( d’ \right):2x-3y+6=0$ và $\left( d” \right):x-2y+1=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, thấy $\left( 0;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$
Do đó $\text{O}\left( 0;0 \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0.$
Xét điểm $M\left( 1;0 \right)$ ta thấy $\left( 1;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ do đó điểm $M\left( 1;0 \right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x+y>0.$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left( d” \right).$

Ví dụ 3. Xác định miền nghiệm bất phương trình $\left( x-y \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)\ge 0.$

Ta có $\left( x-y \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left( x+y \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x-y\ge 0 \\
x+y\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$ $(1)$ hoặc $\left\{ \begin{matrix}
x-y\le 0 \\
x+y\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ $(2).$
Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1)$ và $(2).$
Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y=0$, $\left( d’ \right):x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $M\left( 1;0 \right)$, ta có $\left( 1;0 \right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(1)$ do đó $M\left( 1;0 \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1).$
Xét điểm $N\left( -1;0 \right)$, ta có $\left( -1;0 \right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(2)$ do đó $N\left( -1;0 \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(2).$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d \right)$, $\left( d’ \right).$

**Dạng toán 2. Ứng dụng bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải bài toán về kinh tế.
**Phương pháp giải toán:
• Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính, đó là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.
• Ta thừa nhận kết quả sau: “Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức $P\left( x;y \right)=ax+by$ $\left( b e 0 \right)$ trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác”.

Ví dụ 4. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho $1$ phút quảng cáo trên sóng phát thanh là $800.000$ đồng, trên sóng truyền hình là $4.000.000$ đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là $5$ phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là $4$ phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp $6$ lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa $16.000.000$ đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$ (phút), trên truyền hình là $y$ (phút). Chi phí cho việc quảng cáo là: $800.000x+4.000000y$ (đồng).
Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức là:
$800.000x+4.000.000y\le 16.000.000$ hay $x+\text{ 5}y-20\le \text{0}.$
Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có:$x\ge 5$, $y\le 4.$
Đồng thời do $x$, $y$ là thời lượng nên $x\ge 0$, $y\ge 0$.
Hiệu quả chung của quảng cáo là: $x+6y.$
Bài toán trở thành: Xác định $x$, $y$ sao cho: $M\left( x;y \right)=x+6y$ đạt giá trị lớn nhất.
Với các điều kiện $\left\{ \begin{align}
& x+\text{5}y-20\le \text{0} \\
& x\ge 5 \\
& 0\le y\le 4 \\
\end{align} \right.$ $(*).$
Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*).$
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+5y-20=0$, $\left( d’ \right):x=5$, $\left( d” \right):y=4.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$ là phần mặt phẳng (tam giác) không tô màu trên hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của $M\left( x;y \right)=x+6y$ đạt tại một trong các điểm $\left( 5;3 \right)$, $\left( 5;0 \right)$, $\left( 20;0 \right).$
Ta có $M\left( 5;3 \right)=23$, $M\left( 5;0 \right)=5$, $M\left( 20;0 \right)=20$ suy ra giá trị lớn nhất của $M\left( x;y \right)$ bằng $23$ tại $\left( 5;3 \right).$
Vậy nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là $5$ phút và trên truyền hình là $3$ phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ví dụ 5. Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại $I$ cần $2$kg nguyên liệu và $30$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $40000$ đồng. Mỗi kg sản phẩm loại $II$ cần $4$kg nguyên liệu và $15$ giờ, đem lại mức lợi nhuận $30000$ đồng. Xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?

Phân tích bài toán: Gọi $x$ ($x\ge 0$) là số kg loại $I$ cần sản xuất, $y$ ($y\ge 0$) là số kg loại $II$ cần sản xuất.
Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, có mức lợi nhuận là $40000x+30000y.$
Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4y\le 200$ hay $x+2y-100\le 0$, $30x+15y\le 1200$ hay $2x+y-80\le 0.$
Bài toán trở thành: Tìm $x$, $y$ thoả mãn hệ $\left\{ \begin{align}
& x+2y-100\le 0 \\
& 2x+y-80\le 0 \\
& x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
\end{align} \right.$ $(*)$ sao cho $L\left( x;y \right)=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+2y-100=0$, $\left( d’ \right):2x+y-80=0.$
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình $(*)$ là phần mặt phẳng (tứ giác) không tô màu trên hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của $L\left( x;y \right)=40000x+30000y$ đạt tại một trong các điểm $\left( 0;0 \right)$, $\left( 40;0 \right)$, $\left( 0;50 \right)$, $\left( 20;40 \right)$.
Ta có $L\left( 0;0 \right)=0$, $L\left( 40;0 \right)=1600000$, $L\left( 0;50 \right)=1500000$, $L\left( 20;40 \right)=2000000$ suy ra giá trị lớn nhất của $L\left( x;y \right)$ là $2000000$ khi $\left( x;y \right)=\left( 20;40 \right).$
Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại $I$ và $40$ kg sản phẩm loại $II$ để có mức lợi nhuận lớn nhất.

**C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
****1. ĐỀ BÀI
**Bài toán 1. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a) $x-3y\ge 0.$
b) $\frac{x-y}{-2}<x+y+1.$

Bài toán 2. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
a) $\left\{ \begin{matrix}
x+y-2<0 \\
x-y+3\ge 0 \\
\end{matrix} \right.$
b) $\left\{ \begin{align}
& x+y+2>0 \\
& 2x-3y-6\le 0 \\
& x-2y+3\le 0 \\
\end{align} \right.$

Bài toán 3. Một công ty cần thuê xe vận chuyển $140$ người và $9$ tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có $10$ xe hiệu MITSUBISHI và $9$ xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở $20$ người và $0,6$ tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là $4$ triệu đồng, một xe hiệu FORD là $3$ triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?

Bài toán 4. Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, … Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là $300$kg, đậu là $200$kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh đậu xanh cần $0,06$kg đường, $0,08$kg đậu và cho lãi $2$ ngàn đồng. Sản xuất một cái bánh dẻo cần $0,07$kg đường, $0,04$kg đậu và cho lãi $1,8$ ngàn đồng. Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán hết)?

2. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài toán 1.
a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\left( d \right):x-3y=0$.
Ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M\left( 1;0 \right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

b) Ta có $\frac{x-y}{-2}<x+y+1$ $\Leftrightarrow x-y+2\left( x+y+1 \right)>0$ $\Leftrightarrow 3x+y+2>0.$
Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta :3x+y+2=0.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, ta thấy $\left( 0;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta $ (không kể đường thẳng $\Delta $) và chứa điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Bài toán 2.
a) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y-2=0$, $\left( d’ \right):x-y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, thấy $\left( 0;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y-2<0$ và $x-y+3\ge 0.$
Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d’ \right).$

b) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y+2=0$, $\left( d’ \right):2x-3y-6=0$ và $\left( d” \right):x-2y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $\text{O}\left( 0;0 \right)$, thấy $\left( 0;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y+2>0$ và $2x-3y-6\le 0.$
Do đó $\text{O}\left( 0;0 \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y+2>0$ và $2x-3y-6\le 0.$
Xét điểm $M\left( 0;3 \right)$ ta thấy $\left( 0;3 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x-2y+3\le 0$ do đó điểm $M\left( 0;3 \right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x-2y+3\le 0.$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left( d’ \right)$, $\left( d” \right).$

Bài toán 3. Gọi $x$, $y$ $(x,y\in N)$ lần lượt là số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê.
Từ bài toán ta được hệ bất phương trình
$\left\{ \begin{align}
& 0\le x\le 10 \\
& 0\le y\le 9 \\
& 20x+10y\ge 140 \\
& 0,6x+1,5y\ge 9 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 0\le x\le 10 \\
& 0\le y\le 9 \\
& 2x+y\ge 14 \\
& 2x+5y\ge 30 \\
\end{align} \right.$ $(*).$
Tổng chi phí $T\left( x,y \right)=4x+3y$ (triệu đồng).
Bài toán trở thành là tìm $x$, $y$ nguyên không âm thoả mãn hệ $(*)$ sao cho $T\left( x,y \right)$ nhỏ nhất.
Từ đó ta cần thuê $5$ xe hiệu MITSUBISHI và $4$ xe hiệu FORD thì chi phí vận tải là thấp nhất.

Bài toán 4. Gọi $x$, $y$ lần lượt là số cái bánh Đậu xanh, bánh Dẻo ($x,y\in N$).
Bài toán trở thành tìm số tự nhiên $x$, $y$ thoả mãn hệ: $\left\{ \begin{align}
& 6x+7y\le 30000 \\
& 2x+y\le 5000 \\
\end{align} \right.$ sao cho $L=2x+1,8y$ lớn nhất.
Từ đó ta có: $\left\{ \begin{align}
& x=625 \\
& y=3750 \\
\end{align} \right.$ thì $L=2x+1,8y$ đạt giá trị lớn nhất.
Vậy cần $625$ bánh đậu xanh và $3750$ bánh dẻo thì lợi nhuận lớn nhất.