Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Bằng Cách Phối Hợp Nhiều Phương Pháp

Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Ngọc Dũng, hướng dẫn phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp, giúp học sinh học tốt chương trình Toán 8.

A. Tóm Tắt Lí Thuyết

Khi phân tích đa thức thành nhân tử, nếu cần ta phải phối hợp nhiều phương pháp để phân tích được triệt để. Các phương pháp thông thường:

Phương pháp ưu tiên số một là đặt nhân tử chung.
Phương pháp ưu tiên số hai là dùng hằng đẳng thức.
Cuối cùng là nhóm các hạng tử. Mục đích của việc nhóm các hạng tử nhằm làm cho quá trình phân tích đa thức thành nhân tử được tiếp tục bằng cách đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.

Ngoài ra, ta còn có thể sử dụng các phương pháp nâng cao sau:

Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
Phương pháp đổi biến.

B. Các Dạng Toán

DẠNG 1. Phối hợp các phương pháp thông thường.

Một số bài toán, nếu chỉ áp dụng một phương pháp thì ta không thể phân tích thành nhân tử được vì vậy ta phải kết hợp hai hoặc cả ba phương pháp đã nêu.
Khi phối phợp nhiều phương pháp, thông thường phương pháp đặt nhân tử chung được ưu tiên đầu tiên rồi đến nhóm hạng tử và hằng đẳng thức, một phương pháp có thể dùng nhiều lần.

DẠNG 2. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

Tách các hạng tử của đa thức thành tổng hoặc hiệu của nhiều hạng tử, từ đó ta ghép cặp để được các nhóm hạng tử giống nhau và làm xuất hiện nhân tử chung.
Cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax² + bx + c thành nhân tử là: • Tách bx thành b₁x + b₂x sao cho b₁·b₂ = ac. • Đặt nhân tử chung theo từng nhóm.
Đối với đa thức bậc ba trở lên thì tùy theo đặc điểm của các hệ số mà có cách tách riêng cho phù hợp. Một thủ thuật của loại này là dùng máy tính cầm tay nhẩm một nghiệm (thường là nghiệm nguyên, giả sử là x₀), khi đó ta tìm cách ghép cặp làm sao cho xuất hiện nhân tử (x − x₀) là được.

DẠNG 3. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử. Khi phân tích đa thức thành nhân tử, đôi khi ta cần tăng thêm các hạng tử của đa thức bằng cách thêm và bớt cùng một hạng tử. Có hai cách thêm bớt thương gặp như sau:

Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.

DẠNG 4. Phương pháp đổi biến.

Khi gặp một đa thức phức tạp, ta nên dùng cách đặt ẩn phụ (thay một đa thức của biến cũ bằng một biến mới để được một đa thức đơn giản hơn, dễ phân tích hơn).
Sau khi phân tích với biến mới, ta thay trở lại biến cũ để phân tích tiếp (nếu được).

DẠNG 5. Tìm x thỏa một đẳng thức cho trước. Một tích bằng 0 khi một trong các nhân tử của nó bằng 0. Ta thực hiện theo các bước sau: