Chuyên Đề Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Bồi Dưỡng HSG Toán 8

Tài liệu gồm 57 trang, hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bồi dưỡng HSG Toán 8, giúp học sinh lớp 8 ôn tập, rèn luyện để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi môn Toán 8 các cấp.

A. Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Một Biểu Thức

Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên.

B. Các Dạng Toán

Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của tam thức bậc hai ax² + bx + c.

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2.

Dạng 2: Tìm GTLN – GTNN của đa thức có bậc cao hơn 2.

Phương pháp: Ta đưa về dạng tổng bình phương.

Dạng 3: Đa thức có từ 2 biến trở lên.

Phương pháp: Đa số các biểu thức có dạng F(x, y) = ax² + by² + cxy + dx + ey + h (a, b, c là các số thực). Ta đưa dần các biến vào trong hằng đẳng thức (a ± b)² = a² ± 2ab + b² như sau: F(x, y) = m[K(x, y)]² + n[G(y)]² + r hoặc F(x, y) = m[K(x, y)]² + n[H(x)]² + r. Trong đó G(y), H(x) là biểu thức bậc nhất đối với biến, còn K(x, y) = px + qy + k cũng là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y.

Cụ thể: Ta biến đổi (1) để chuyển về dạng (2) như sau với 2a - ac + b ≠ 0 và 4a ≠ 0. Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Nếu m < 0, n < 0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất. Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x;y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho. Trong cả hai trường hợp trên: Nếu r = 0 thì phương trình F(x;y) = 0 có nghiệm. Nếu F(x, y) = r thì không có cặp số (x; y) nào thỏa mãn F(x;y) = 0. Nếu a - ac + b = r, F(x, y) phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta giải được các bài toán khác.

Dạng 4: Tìm GTLN – GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến.

Phương pháp:

– Dồn biến từ điều kiện rồi thay vào biểu thức. – Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế. – Sử dụng thêm một số bất đẳng thức phụ.

Dạng 5: Phương pháp đổi biến số.

Phương pháp:

– Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ. – Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ. – Sử dụng các hằng đẳng thức.

Dạng 6: Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 7: Dạng phân thức.

A. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai.

Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất.

B. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức.

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu. Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm.

C. Tìm GTLN – GTNN của phân thức có dạng khác.

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu. Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm.